Признак делимости на 5 продолжает серию статей о признаках делимости . Здесь приведена формулировка признака делимости на 5, показано его доказательство и разобраны примеры, в которых устанавливается делимость на 5 заданных целых чисел с помощью указанного признака.
Навигация по странице.
Признак делимости на 5, примеры
Начнем с формулировки признака делимости на 5 : если в записи целого числа справа находится цифра 0 или 5 , то такое число делится на 5 , если же справа в записи числа стоит другая цифра, то такое число не делится на 5 .
Озвученный признак делимости позволяет очень легко устанавливать способность данного числа делиться на 5 . Следует отметить, что использование признака делимости на 5 приводит к результату быстрее, чем непосредственное деление.
Число 0 делится на 5 , так как нуль делится на любое целое число (смотрите свойства делимости). Из на 5 делится лишь число 5 , а числа 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 и 9 не делятся на 5 без остатка.
Рассмотрим примеры применения признака делимости на 5 .
Пример.
Какие из чисел 74 , −900 , 10 000 , −799 431 , 355 , −5 делятся на 5 ?
Решение.
Записи чисел 74 и −799 431 оканчиваются цифрами 4 и 1 , поэтому признак делимости на 5 позволяет утверждать, что эти числа не делятся на 5 нацело. А записи чисел −900 , 10 000 , 355 и −5 оканчиваются цифрами 0 и 5 , поэтому эти числа делятся на 5 .
Ответ:
−900 , 10 000 , 355 и −5 делятся на 5 .
Доказательство признака делимости на 5
Переформулируем признак делимости на 5 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 5 , и докажем его.
Теорема.
Для делимости целого числа a на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись числа a оканчивалась цифрой 0 или 5 .
Доказательство.
Сначала докажем вспомогательное утверждение: произведение a 1 ·10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .
Число 10 делится на 5 , так как 10=5·2 , тогда произведение a 1 ·10 тоже делится на 5 в силу следующего свойства делимости: если целое число a делится на целое число b , то произведение m·a , где m – любое целое число, делится на b .
Теперь переходим к доказательству теоремы.
Позволяет любое целое число a , запись которого оканчивается нулем, представить в виде a=a 1 ·10 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа убрать цифру 0 . Если же в записи числа a справа находится произвольная цифра a 0 (a 0 – это 0 или 1 , или 2 , …, или 9 ), то a можно представить в виде a=a 1 ·10+a 0 . Для пояснения приведем пример такого представления: 54 327= 5 432·10+7 .
Дальнейшее доказательство основано на следующем свойстве делимости: если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .
В равенстве a=a 1 ·10+a 0 произведение a 1 ·10 делится на 5 (что мы показали в начале теоремы). Если a 0 делится на 5 (что возможно, если a 0 =0 или a 0 =5 ), то по указанному свойству делимости на 5 делится и число a . Этим доказана достаточность. С другой стороны, если a делится на 5 , то по указанному свойству делимости и a 0 делится на 5 . Так доказана необходимость.
Другие случаи делимости на 5
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых требуется выяснить, делится ли значение некоторого выражения на 5 . Начнем с примера, в котором получить решение позволяет признак делимости на 5 .
Пример.
Делится ли на 5 значение выражения 10 2·n −5 при некотором натуральном n ?
Решение.
При n=1 имеем 10 2·1 −5=95 , при n=2 – 10 2·2 −5=9 995 , при n=3 – 10 2·3 −5=999 995 , … Очевидно, что при любом натуральном n значение выражения 10 2·n −5 представляет собой число, запись которого оканчивается цифрой 5 . Таким образом, в силу признака делимости на 5 можно говорить о делимости 10 2·n −5 на 5 при любом натуральном n .
Ответ:
Да.
Более строгое доказательство делимости на 5 позволяет проводить . Докажем с его помощью, что при любом натуральном n значение выражения делится на 5 .
Пример.
Докажите, что делится на 5 при любом натуральном n .
Решение.
Выполним все шаги метода математической индукции.
Проверим, что при n=1
значение выражения делится на 5
. Имеем 
, а 30
делится на 5
, так как 30=5·6
.
Предположим, что при n=k
значение выражения делится на 5
, то есть, будем считать, что 
делится на 5
.
Докажем, что при n=k+1 делится на 5 .
Имеем
Мы пришли к разности, в которой выражение 
делится на 5
, так как на предыдущем шаге мы предположили, что делится на 5
, и выражение тоже делится на 5
, так как содержит множитель 5
. Следовательно, вся разность делится на 5
в силу свойств делимости.
Так методом математической индукции доказано, что делится на 5 при любом натуральном n .
Этот же пример можно было решить, воспользовавшись . Бином Ньютона позволяет представлять подобные выражения в виде произведения, и если при этом хотя бы один из множителей будет делиться на 5 , то и все произведение будет делиться на 5 в силу соответствующего свойства делимости.
Пример.
Делится ли на 5 при натуральных n ?
Решение.
Представим 6
как 5+1
и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение делится на 5 при любом натуральном n , так как содержит множитель 5 , а значение выражения в скобках представляет собой натуральное число. n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
Первый множитель n при n=5·m делится на 5 , следовательно, и все произведение делится на 5 .
При n=5·m+1 множитель n−1=5·m делится на 5 , откуда следует делимость на 5 всего произведения n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
При
При n=5·m+2 множитель n 2 +1 равен соответственно 25·m 2 +20·m+5=5·(5·m 2 +4·m+1) . Очевидно, он делится на 5 , следовательно, на 5 делится и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) .
Наконец, при n=5·m+4 множитель n+1 равен 5·m+5 делится на 5 , поэтому, и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 .
Таким образом, n 5 −n=n·(n−1)·(n+1)·(n 2 +1) делится на 5 при любом целом n .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.
Рассмотрим основные признаки делимости чисел на 2, 5 и 10. Начнем с десятки
Признак делимости на десять
- Если натуральное число оканчивается цифрой нуль, то это число делится без остатка на 10.
Для того чтобы в таком случае получить частное от деления, необходимо просто отбросить один нуль.
- Например, 350 делится без остатка на 10. Результатом деления будет 35.
А теперь попробуем другое число, например, 357. При делении на 10 получим неполное частное 35 и остаток 7. То есть, в качестве остатка будет цифра, записанная на последнем месте в числе.
Если же в записи натурального числа, на последнем месте стоит другая цифра, то оно не делится без остатка на 10. Остатком от деления в таком случае будет последняя цифра.
Заметим, что число 10 является произведением чисел 2 и 5. Другими словами десятка делится на 2 и на 5 без остатка. А следовательно, любое число, которое делится без остатка на 10 делится и на 2, и на 5. А учитывая предыдущий признак, получаем, что любое число, в записи котоого на последнем месте стоит нуль, делится на 2 и на 5.
- Например, 70 = 7*10 = 7*(2*5) = (7*2)*5=14*5, то есть 70:5=14
Аналогично для двойки,
- 70=7*10 = 7*(2*5)=(7*5)*2=35*2, то есть 70:2=35.
Признаки делимости на 5
Заметим так же тот факт, что любое многозначное натуральное число можно представить в виде полных десятков и единиц. Например, 23=20+3, или 1253= 1250+3.
Так как число полных десятков всегда оканчивается нулем, то эта часть числа всегда делится на 5. Следовательно, делимость числа на 5 зависит от числа, которое записано на последнем месте. Т.е. от числа единиц. Там могут быть цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9, из этих чисел, только 5 делится на 5 без остатка. Следовательно, можем сформулировать признак делимости числа на 5.
- Если запись натурального числа оканчивается на 5 или на 0, то это число делится на 5 без остатка. Если же запись числа оканчивается на другую цифру, то это число не делится на 5 без остатка.
Например, число 355 делится на 5 без остатка, и число 350 тоже делится на 5 без остатка, а числа 654 и 348 не делятся без остатка на 5.
Признаки делимости на 2
Аналогичными рассуждениями можно получить признак делимости числа на 2.
- Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится на 2 без остатка. Если же запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится на 2 без остатка.
Четными называются числа, не имеют остатка при делении на 2. Из однозначных, цифры 0,2,4,6,8 являются четными. Цифры 1,3,5,7,9 – являются нечетными. Нечетные числа при делении на 2, дают остаток 1.
Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел :
- Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. - Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. - Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. - Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. - Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. - Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. - Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9. - Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0. - Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7. - Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Признаки делимости на составное число
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5: сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.
Признак делимости на 5 , примеры
Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.
Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.
Пример 1
По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.
Пример 2
Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?
Решение
Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа - 900 , 10000 , 355 и - 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.
Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и - 5 делятся на 5 .
Доказательство признака делимости на 5
Приведем теорему и проведем ее доказательства.
Теорема 1
Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .
Доказательство 1
Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .
Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5
, то и произведение a 1 · 10
тоже делится на 5
.
Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.
Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .
Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .
Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.
Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.
Другие случаи делимости на 5
Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .
Пример 3
Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?
Решение
Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 2 – 10 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .
Ответ: Да.
Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .
Пример 4
Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .
Решение
Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.
Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .
Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .
Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .
Получаем:
6 k + 1 + 10 · (k + 1) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · (6 k + 10 k + 14) - 50 k - 60 = = 6 · (6 k + 10 k + 14) - 5 · (10 k + 12)
Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .
Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.
Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .
Пример 5
Делится ли 6 n + 10 n + 14 на 5 при натуральных n ?
Решение
Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:
6 n + 10 n + 14 = (5 + 1) n + 10 n + 14 = = (C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 5 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n - 1 + C n 1 · 5 n - 2 + … + C n n - 2 · 5 1 + 3 n + 3
Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .
Ответ: Да, делится.
Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n: мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .
Пример 6
Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .
Решение
Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · (n 4 − 1) = n · (n 2 − 1) · (n 2 + 1) = .
Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .
Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 согласно свойству делимости.
Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · (5 · m 2 + 4 · m + 1) . Это значит, что произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 .
Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .
Это значит, что произведение n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 .
Ответ: n 5 − n = n · (n − 1) · (n + 1) · (n 2 + 1) делится на 5 при любом целом n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
