tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой - это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) - qx 3 /(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. "-" означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а "+" - по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки - то положительным.

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у , а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у - это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть "плечо действия". Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x 2 /(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение - площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f х = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l/2 = - (Ql 2 /16EI) l/2 + (Ql 3 /96EI) = -(Ql 3 /48EI) (12.3.5)

В данном случае знак "-" показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х . А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у , именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3). Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k . Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3 ∫∫∫∫ qdх = (2(qlx 3 /6) - 3(qx 4 /24))/EI = 5ql 4 /(384EI) (12.4.4)

f х = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l/2 = (- ql 3 x/24 + (qlx 3 /6) - (qx 4 /24))/EI = - 5ql 4 /(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак "-" означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у .

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки - эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql 2 /(8·3))l/2 = ql 3 /24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql 4 /384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы , чтобы ими пользоваться.

Позвольте! - Скажете вы, - Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб , однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 - 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10 5 кгс/см 2 , момент инерции прямоугольного сечения I z = bh 3 /12 = 4.98·0.32 3 /12 = 0.01359872 см 4 , полная нагрузка - 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql 3 /(48EI) = 0.302·90 3 /(48·10 5 ·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции - тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0.302·90 2 /(16·10 5 ·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм.

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см 4 , длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

Определение угла поворота через прогиб.

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А , казалось бы, проще простого:

tgθ х = - tgθ A + Мx/(EI) - Аx 2 /(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l , (B = - M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А , а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f A = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B = tgθ A l + Ml 2 /(2EI)- Al 3 /(6EI) = 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами - значения начальных параметров определяются в ходе решения

После определения начального угла поворота вычисляется прогиб сечения А.

Угол поворота сечения В вычисляется по формуле (2.20), в которой следует принять

2.2.2. Интеграл Мора.

Универсальная формула Мора вычисления упругих перемещений в стержневых системах является естественным обобщением формулы Кастильяно. Для линейно упругих стержневых систем формула Кастильяно имеет вид

Δ К -обобщенное перемещение сечения К,

Р К –обобщенная сила, соответствующая обобщенному перемещению Δ К,

U –функция потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является квадратичной функцией усилий и для изгибаемых элементов записывается в виде

(2.22)

В подавляющем большинстве случаев влиянием поперечной силы на величину потенциальной энергии пренебрегают. Комбинирование формул (2.21) и (2.22) дает

(2.23)

Частная производная соответствует функции изгибающего момента , вызванного действием единичной обобщенной силы ,приложенной в сечении К по направлению искомого перемещения. Формула (2.23), записанная в виде

(2.24)

определяет частный вид универсальной формулы Мора применительно к определению перемещений в изгибаемых элементах.

На практике используется графоаналитический прием вычисления интеграла Мора (прием Верещагина).

‑ площадь грузовой эпюры (эпюра изгибающего момента от действия заданной нагрузки);

‑ ордината единичной эпюры (эпюра изгибающего момента от действия единичной обобщенной силы), измеренная под центром грузовой эпюры.

Вычисление интеграла Мора по формуле Верещагина в учебной литературе называется "перемножением" эпюр.

В ряде случаев при вычислении интеграла Мора удобно пользоваться формулой Симпсона

(2.26)

где индексы "н", "с", "к" ‑ обозначают соответственно начало, середину и конец участка перемножаемых эпюр.

Пример 2. Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения В балки, рассмотренной в примере 1 (рис.2.4.а).

Вычисление интеграла Мора произвести по формуле Симпсона.

Для определения прогиба сечения А строится грузовая М р (рис.2.4.б) и единичная (рис.2.4.в) эпюры изгибающих моментов.

Перемножение грузовой и единичной эпюр изгибающих моментов по формуле Симпсона дает

Для определения угла поворота опорного сечения В строится вторая единичная эпюра изгибающего момента от действия единичного момента, приложенного в сечении В балки (рис.2.4.г).

Величина угла поворота определяется перемножением грузовой и единичной (рис.2.4.г) эпюр изгибающих моментов.

Примечание. Знак минус в ответах означает, что направления действительных перемещений сечений А и В будут противоположными направлениям перемещений, соответствующих единичным обобщенным силам.

2.3. Статически неопределимые балки
(Метод сил раскрытия статической неопределимости)

Статически неопределимые балки содержат "лишние" связи (при удалении лишних связей балки становятся статически определимыми). Число лишних связей определяет степень статической неопределимости задачи.

Статически определимая геометрически неизменяемая балка, полученная из заданной статически неопределимой путем удаления лишних связей, называется основной системой метода сил.

Алгоритм решения статически неопределимых балок методом сил рассмотрен на примере один раз статически неопределимой балки (рис. 2.5.а).

Решение задачи начинается с выбора основной системы метода сил (рис. 2.5.б). Следует отметить, что это не единственный вариант выбора основной системы (в частности, возможен вариант удаления внутренних связей путем постановки шарнира).

Суть метода сил заключается в отрицании перемещений по направлению удаленной связи. Математически это условие записывается в виде уравнения совместности перемещений

, (2.27)

δ 11 – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием единичного значения неизвестной реакции удаленной связи (рис. 2.5.в)

Δ 1Р – перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное действием заданной нагрузки (рис. 2.5.г)

Вычисление перемещений δ 11 , Δ 1Р производится по формуле Симпсона.

Коэффициент δ 11 канонического уравнения метода сил определяется перемножением единичной эпюры (рис. 2.5.е) самой на себя

Коэффициент Δ 1Р канонического уравнения метода сил вычисляется перемножением единичной (рис. 2.5.е) и грузовой (рис. 2.5.д ) эпюр

Из решения уравнения (2.27) определяется реакция X 1 лишней связи

Этот этап решения соответствует раскрытию статической неопределимости задачи.

Эпюра изгибающего момента М x (рис. 2.5.з) в статически неопределимой балке строится по формуле

(2.28)

На рис. 2.5.ж представлена "исправленная" единичная эпюра, все ординаты которой увеличены в X 1 раз.

Рассмотренный алгоритм решения статически неопределимых задач с помощью метода сил пригоден и для решения статически неопределимых задач при кручении, при осевом действии нагрузок, а также при сложной деформации стержня.

2.4. Устойчивость сжатых стержней

Для полного представления о работе сооружения наряду с расчетами на прочность и жесткость необходимы расчеты на устойчивость сжатых и сжато-изогнутых элементов.

Инженерные объекты кроме расчетных нагрузок могут подвергаться дополнительным, не предусмотренным в расчете, малым возмущениям, способным вызвать в элементах объекта непроектную деформацию (искривление оси сжатых элементов, пространственный изгиб плоско изогнутого элемента). Результат такого дополнительного воздействия зависит от интенсивности нагрузок, действующих на элемент конструкции. Для каждого элемента существует некоторое критическое значение нагрузки, при превышении которого малое случайное возмущение вызывает необратимую непроектную деформацию. Такое состояние объекта является опасным.

Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ

1.1. Основные зависимости теории изгиба балок

Балками принято называть стержни, работающие на изгиб под действием поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии. Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей координат: ось OX совмещена с осью балки, а оси OY и OZ – с главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1).

Теория изгиба балок основывается на следующих допущениях.

1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки. Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а ).

2. Нормальными напряжениями в площадках, параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б ).

3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е. прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по сравнению с единицей (рис.1.2, в ).

4. Напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г ).

Рис. 1.2. Допущения теории изгиба балок

Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой по сечению части балки на оставшуюся ее часть.

Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения.

Проекция на плоскость сечения главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на отброшенную часть балки .

Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ . Такой изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в плоскости, параллельной плоскости XOZ , а ее равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром тяжести.

Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных сил и моментов.

Обозначим интенсивность распределенной нагрузки (нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q (x ), внешнюю сосредоточенную силу – как Р , а внешний изгибающий момент – как М . Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления их действия совпадают с положительным направлением оси OZ (рис. 1.3,а ,б ). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по часовой стрелке (рис.1.3,в ).

Рис. 1.3. Правило знаков для внешних нагрузок

Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ через w , а угол поворота сечения – через θ. Примем правило знаков для элементов изгиба (рис. 1.4):

1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением оси OZ (рис. 1.4, а ):

2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б );

3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в );

4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г ).

Рис. 1.4. Правило знаков для элементов изгиба

На основании гипотезы плоских сечений можно видеть (рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε x , отстоящего на z от нейтральной оси, будет равно

ε x = −z /ρ ,(1.1)

где ρ – радиус кривизны балки в рассматриваемом сечении.

Рис. 1.5. Схема изгиба балки

Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной и производными от w (x ) существует зависимость

В силу принятого допущения о малости углов поворота для достаточно жестких балок величина мала по сравнению с единицей , поэтому можно считать, что

Подставив 1/ρ из (1.2) в (1.1), получим

Нормальные напряжения от изгиба σ x на основании закона Гука будут равны

Поскольку из определения балок следует, что продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е.

где F – площадь поперечного сечения балки.

Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести.

Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно нейтральной оси, M y будет

Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси OY равен , и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает основное дифференциальное уравнение изгиба балки

Момент внутреннихусилий в сечении относительно оси OZ будет

Поскольку оси OY и OZ по условию являются главными центральными осями сечения, то .

Отсюда следует, что при действии нагрузки в плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет плоской кривой. Такой изгиб называется плоским . На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим

Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок пропорциональны отстоянию от нейтральной оси балки. Естественно, что это вытекаетиз гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки

где |z | max – абсолютное значение отстояния наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.

В дальнейшем нижние индексы y для упрощения опущены.

Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия элемента, мысленно выделенного из балки.

Рассмотрим элемент балки длиной dx (рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо малы.

Если в левом сечении элемента действует момент M и перерезывающая сила N , то в правом его сечении соответствующие усилия будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения .

Рис.1.6. Усилия, действующие на элемент балки

Приравняв нулю проекцию на ось OZ всех усилий, действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси правого сечения, получим:

Из этих уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим

Из (1.11) и (1.12) следует, что

Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера .Из этих зависимостей следует, что перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования нагрузки q :

где N 0 и M 0 – перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем x = x 0 , которое принимается за начало отсчета; ξ, ξ 1 – переменные интегрирования .

Постоянные N 0 и M 0 для статически определимых балок могут быть определены из условий их статического равновесия.

Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к уравнению четвертого порядка.

1.2. Дифференциальное уравнение изгиба балок

Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда момент инерции сечения является функцией от x , с учетом (1.11) и (1.12) получим:

где штрихами обозначено дифференцирование по x .

Для призматических балок, т.е. балок постоянного сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба:

Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

Используем далееу равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w (x ), θ (x ), M (x ), N (x ).

Интегрируя (1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки соответствует сечение x = x a ), получим:

Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a , M a , θ a , w a имеют определенный физический смысл, а именно:

N a – перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x = x a ;

M a – изгибающий момент в начале отсчета;

θ a – угол поворота в начале отсчета;

w a – прогиб в этом же сечении.

Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки. Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки. Простейшие условия соответствуют шарнирному опиранию на жесткие опоры или жесткой заделке.

При шарнирном опирании конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а ) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю:

При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б ) равны нулю прогиб и угол поворота сечения:

Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в ), то в этом сечении равны нулю изгибающий момент и перерезывающая сила:

Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г ). Это приводит к таким граничным условиям:

Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими , а условия (1.27) – силовыми .

Рис. 1.7. Виды граничных условий

В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными граничными условиями, которые соответствуют опиранию балки на упругие опоры или упругой заделке концов.

Упругой опорой (рис. 1.8, а ) называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R положительной, если она действует на опору в сторону положительного направления оси OZ . Тогда можно записать:

w = AR ,(1.29)

где A – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости упругой опоры.

Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R = 1, т.е. A = w R = 1 .

Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки, подкрепляющиерассматриваемую балку, или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие.

Для определения коэффициента податливости упругой опоры A необходимо загрузить соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай упругой опоры при A = 0.

Упругой заделкой (рис. 1.8, б ) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному повороту сечения и в которой угол поворота θ в этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость

θ =Â M .(1.30)

Множитель пропорциональности Â называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен, как угол поворота упругой заделки при M = 1, т.е. Â = θ M = 1 .

Частным случаем упругой заделки при Â = 0 является жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же плоскости. Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать бимсы и т.п.

Рис. 1.8. Упругая опора (а ) и упругая заделка (б )

Если концы балки длиной L оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно записать:

Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх.

Если концы балки длиной L упругозаделанные (рис. 1.9), то для опорных сечений, учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно записать:

Знак минус во втором условии (1.32) принят потому, что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент, действующий на упругую заделку, направлен против часовой стрелки, а положительный угол поворота в этом сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла поворота не совпадают.

Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки.

Рис. 1.9. Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а );

усилия в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б )

При действии на балку нескольких нагрузок каждый элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила) представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок.

1.3. Метод начальных параметров

Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае, когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w 1 , w 2 , w 3 , выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае выражаются так:

при x=a 1

при x=a 2

при x=a 3

Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n , где n – число участков по длине балки.

Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой приложены нагрузки разных типов

Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде

где члены за двойной чертой учитываются при x ³ a 1, x ³ a 2 и т.д.

Очевидно, что δ 1 w (x )=w 2 (x )−w 1 (x ); δ 2 w (x )=w 3 (x )−w 2 (x ); и т.д.

Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i w (x ) на основании (1.18) и (1.32) можно записать в виде

Общий интеграл для любой поправки δ i w (x ) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a = a i . При этом параметры N a , M a , θ a , w a имеют смысл изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте, угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x = a i . Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет

Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде, содержащем лишь четыре произвольных постоянных N 0 , M 0 , θ 0 , w 0 , которые определяются из граничных условий по концам балки.

Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба.

1.4. Определение касательных напряжений при изгибе балок

Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это положение практически подтверждается точными решениями теории упругости. Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим продольным сечением I - I и двумя поперечными сечениями элемент длиной dx (рис. 1.12).

Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T . Нормальные усилия в конечном сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда .

Рис. 1.12. Продольные усилия и касательные напряжения
в элементе пояска балки

Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента (равенство нулю проекций усилий на ось OX ) будет

где ; f – площадь части профиля, отсеченного линией I – I ; δ– толщина профиля в месте сечения.

Из (1.36) следует:

Поскольку нормальные напряжения σ x определяются формулой (1.8), то

При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение. Статический момент части профиля (отсеченной линией I – I ) относительно нейтральной оси сечения балки OY является интегралом

Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим:

Естественно, что полученная формула для определения касательных напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II – II (см. рис. 1.11), и статический момент S отс вычисляется для отсеченной части площади профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака.

Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных напряжений на ось OZ должна быть равна перерезывающей силе N в данном сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY , т.е. нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными, перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует закону изменения статического момента S отс отсеченной части площади относительно нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ ).

Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F 1 и площадью стенки ω = hδ (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сечение двутавровой балки

Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z от нейтральной оси, будет

Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с z по закону квадратичной параболы. Наибольшее значение S отс , а следовательно, и касательных напряжений τ, получится у нейтральной оси, где z = 0:

Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной оси

Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен

то наибольшее касательное напряжение будет

Отношение N /ω есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например, ω = 2F 1 , по формуле (1.41) получим

Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5% превышает среднее значение этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок, применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений над средними составляет 10–15%.

Если рассмотреть распределение касательных напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем случае изгиб такой балки в плоскости XOZ будет сопровождаться закручиванием.

Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка будет действовать в плоскости, параллельной XOZ , проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее равен нулю.

Рис. 1.14. Касательные напряжения при изгибе швеллерной балки (точка А – центр изгиба)

Обозначив отстояние центра изгиба А от оси стенки балки через е , запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А :

где Q 2 – касательное усилие в стенке, равное перерезывающей силе, т.е. Q 2 =N ;

Q 1 =Q 3 – усилие в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью

Деформация сдвига (или угол сдвига) γ изменяется по высоте стенки балки так же, как и касательные напряжения τ, достигая наибольшей величины у нейтральной оси.

Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки

Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср . Упрощенная схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки

Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w сдв , можно записать:

С учетом правила знаков для перерезывающей силы N и угла поворота найдем

Поскольку ,

Интегрируя (1.47), получим

Постоянная a , входящая в (1.48), определяет перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w изг и сдвига w сдв

появится сумма постоянных интегрирования w 0 +a , определяемая из граничных условий. Здесь w 0 – прогиб от изгиба в начале координат.

Положим в дальнейшем a =0. Тогда окончательно выражение для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид

Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии показаны на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Изгибная (а ) и сдвиговая (б ) составляющие упругой линии балки

В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю, поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие силы связаны только с производными упругой линии от изгиба:

Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки.

Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении которой действует момент М . Перерезывающая сила в этом случае будет постоянной и равной

Для правого опорного сечения соответственно получим

.(1.52)

Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде

Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу поворота сечения, вызванную сдвигом.

Если рассмотреть, например, свободно опертую балку, загруженную посередине ее пролета силой Р (рис. 1.18), то прогиб балки под силой будет равен

Прогиб от изгиба можно найти по таблицам изгиба балок. Прогиб от сдвига определяется по формуле (1.50) с учетом того, что .

Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой

Как видно из формулы (1.55), относительная добавка к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом.

Введем обозначение

где β – численный коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор и нагрузки балки.

Проанализируем зависимость коэффициента k от различных факторов.

Если учесть, что , получим вместо (1.56)

Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде

,(1.58)

где α – численный коэффициент, зависящий от формы и характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по формуле (1.40) при ω =2F 1 найдем I = ωh 2 /3, т.е. α =1/3.

Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α будет увеличиваться.

С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать:

Таким образом, значение коэффициента k существенно зависит от отношения длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α ), устройства опор и нагрузки балки (через коэффициент β ). Чем относительно длиннее балка (h / L мало), тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих отношение h / L меньше 1/10÷1/8, поправка на сдвиг практически может не учитываться.

Однако для балок с широкими поясками, таких, например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние сдвига и при указанных h / L может оказаться значительным.

Следует отметить, что деформации сдвига оказывают влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем.

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В - параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F - площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

где - абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) -(109) получаем

Момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а - эпюра шсеет излом; б - эпюра имеет разные знаки; в - стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .

Лекция 13 (продолжение). Примеры решения на вычисление перемещений методом Мора-Верещагина и задачи для самостоятельного решения

Определение перемещений в балках

Пример 1.

Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.

Решение.

1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы M F .

2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.

3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .

4) Определяем перемещения

Пример 2.

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

Решение.

1) Строим грузовую эпюру.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

3) Строим единичную эпюру.

4) Определяем прогиб

Пример 3.

Определить углы поворота на опорах А и В

Решение.

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

,

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

Находим параметры эпюр

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

а затем и углы поворота на опорах А и В

Пример 4.

Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Определяем опорные реакции R A =R B ,

, , R A = R B = qa .

Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С , где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр

C 2 = -C 1 = -1/4,

а по ним и искомое перемещение

Пример 5.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Эпюра M F (рис. б)

Опорные реакции:

ВЕ : , ,

, R B + R E = F , R E = 0;

АВ : , R А = R В = F ; , .

Вычисляем моменты в характерных точках , M B = 0, M C = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. в).

В сечении С , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ - , , = 2/3; , , = 1/3, а затем моменты в характерных точках , , .

2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и :

,

Прогиб сечения С

Пример 6.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,

и находим искомый прогиб

Пример 7.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Опорные реакции:

, , R A = 2qa ,

, R A + R D = 3qa , R D = qa .

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С .

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ :

Участок ВС :

Участок С D :

Искомое перемещение

Пример 8.

Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а ).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М F (рис. в ). Определив опорные реакции

, , R B = 19qa /8,

, R D = 13qa /8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. д). В сечении А , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е , где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.

Получаем .

Знак “минус” в результате означает, что точка А перемещается не вниз, как была направлена единичная сила, а вверх.

Угол поворота сечения Е находим двумя способами: по правилу Верещагина и по формуле Симпсона.

По правилу Верещагина, перемножая эпюры M F и , по аналогии с предыдущим получим

,

Для нахождения угла поворота по формуле Симпсона вычислим предварительно изгибающие моменты посредине участков:

Искомое перемещение, увеличенное в EI x раз,

Пример 9.

Определить, при каком значении коэффициента k прогиб сечения С будет равен нулю. При найденном значении k построить эпюру изгибающего момента и изобразить примерный вид упругой линии балки (см. рис.).

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в сечении С , где ищется прогиб.

По условию задачи V C = 0. С другой стороны, . Интеграл на участке АВ вычисляем по формуле Симпсона, а на участке ВС – по правилу Верещагина.

Находим предварительно

Перемещение сечения С ,

Отсюда , .

При найденном значении k определяем значение опорной реакции в точке А : , , , исходя из которого находим положение точки экстремума на эпюре М согласно условию .

По значениям момента в характерных точках

строим эпюру изгибающего момента (рис. г).

Пример 10.

В консольной балки, изображенной на рисунке.

Решение.

М от действия внешней сосредоточенной силы F : М В = 0, М А = –F 2l (эпюра линейная).

По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение у В точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру от действия вертикальной единичной силы F i = 1, приложенной в точке В .

Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле , а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl 2 / 2 на ординату 2l /3 эпюры второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

В этом случае формула дает:

Пример 11.

Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рисунке. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI .

Решение.

Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: М А = 0; M D = 0;

Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу F i = 1 и строим эпюру (см. рис.):

откуда R a = 2/3;

Откуда R d = 1/3, поэтому M a = 0; M d = 0; .

Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (см. таблицу).

Центр тяжести параболической части эпюры М лежит посередине 2-го участка.

Таким образом, формула при использовании правила Верещагина дает:

Пример 12.

Определить максимальный прогиб в двухопорной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.).

Решение.

Находим изгибающие моменты:

От заданной нагрузки

От единичной силы, приложенной в точке С , где ищется прогиб .

Вычисляем искомый наибольший прогиб, который возникает в среднем сечении балки

Пример 13.

Определить прогиб в точке В балки, показанной на рисунке.

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы, приложенной в точке В. Чтобы перемножить эти эпюры, надо балку разбить на три участка, так как единичная эпюра ограничена тремя различными прямыми.

Операция перемножения эпюр на втором и третьем участках осуществляется просто. Затруднения возникают при вычислении площади и координат центра тяжести основной эпюры на первом участке. В таких случаях намного упрощает решение задачи построение расслоенных эпюр. При этом удобно одно из сечений принять условно за неподвижное и строить эпюры от каждой из нагрузок, приближаясь справа и слева к этому сечению. Целесообразно за неподвижное принимать сечение в месте перелома на эпюре единичных нагрузок.

Расслоенная эпюра, в которой за неподвижное принято сечение В , представлена на рисунке. Вычислив площади составных частей расслоенной эпюры и соответствующие им ординаты единичной эпюры, получаем

Пример 14.

Определить перемещения в точках 1 и 2 балки (рис. а).

Решение.

Приведем эпюры М и Q для балки при а =2 м; q =10 кН/м; С =1,5а ; М =0,5qa 2 ; Р =0,8qa ; М 0 =М ; =200 МПа (рис. б и в ).

Определим вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 1 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. г).

Вычислим опорные реакции, составив три уравнения равновесия

Проверка

Реакции найдены верно.

Для построения эпюры рассмотрим три участка (рис. г).

1 участок

2 участок

3 участок

По этим данным строим эпюру (рис. д) со стороны растянутых волокон.

Определим по формуле Мора с помощью правила Верещагина. При этом криволинейную эпюру , на участке между опорами, можно представить в виде сложения трех эпюр. Стрелка

Знак «минус» означает, что точка 1 перемещается вверх (в направлении противоположном ).

Определим вертикальное перемещение точки 2, где приложена сосредоточенная сила. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 2 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. е).

Эпюра строится аналогично предыдущей.

Точка 2 перемещается вверх.

Определим угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент.