Окружность, вписанная в треугольник
Существование окружности, вписанной в треугольник
Напомним определение биссектрисы угла .
Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Рис. 1
Доказательство D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны , поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
DF = DE,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая , то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Рис. 2
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны , поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она сторон этого угла.
Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Рис.3
a , b , c – стороны треугольника, S –площадь,
r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
Посмотреть вывод формулы
a – боковая сторона равнобедренного треугольника , b – основание, r – радиус вписанной окружности
a r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формул
,
где
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
получаем
что и требовалось.
Теорема 7 . Для справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
Рис. 8
Доказательство .
,
то, в случае равностороннего треугольника, когда
b = a,
получаем
что и требовалось.
Замечание . Я рекомендую вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
где a , b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза , r – радиус вписанной окружности.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Поскольку четырёхугольник CDOF является , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – . Следовательно,
СВ = СF= r,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание , получаем
что и требовалось.
Подборка задач по теме «Окружность, вписанная в треугольник».
1.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
2.
3
В треугольнике ABC АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.
4.
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
5.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите с(–1).
Приведем ряд задач из ЕГЭ с решениями.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что
. Поскольку
, получаем, что
. Тогда
.
В ответ запишем .
Ответ: .
Задача 2.
1. В произвольном две боковые стороны 10см и 6см (AB и BC). Найти радиусы описанной и вписанной окружностей
Задача решается самостоятельно с комментированием.
Решение:
В .
1) Найти: 
2) Доказать:
и найти СK
3) Найти: радиусы описанной и вписанной окружностей
Решение:
Задача 6.
Р адиус окружности вписанной в квадрат равен . Найти радиус окружности описанной около этого квадрата. Дано :
Найти
: ОС=?
Решение
: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.
Задача 7.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите .
S – площадь треугольника
Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:
А площадь треугольника будет равна 0,5х 2 .
Значит
Таким образом, гипотенуза будет равна:
В ответе требуется записать:
Ответ: 4
Задача 8.
В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 90 0 . Найдите радиус вписанной окружности.
Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.
По теореме Пифагора:
Найдём площадь:
Таким образом:
Ответ: 1
Задача 9.
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:
Тогда
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами
1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.
Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:
2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали
Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р
– периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=
4×а.
Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей 
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство 
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD
-ромб, тогда AC
и BD
его диагонали. AC=
30 см, BD
=40 см
Пусть точка О
– это центр вписанной в ромб ABCD
окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.
т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB
прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения
AB
= 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F
– точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF
и BF
. Пусть AF=
m, BF=n.
Точка O
– центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB
– прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF
– высота треугольника AOB
к гипотенузе. Тогда AF
и BF –
проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности
В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.
Вконтакте
Какая окружность вписана, а какая описана
Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра . Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).
Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника
На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.
Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла , после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.
На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя ?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.
Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника
Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:
Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.
Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов
Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:
Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:
Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:
Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.
Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.
Исчисление радиуса вписанной окружности
Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:
- площадь;
- градусная мера каждого угла;
- длины сторон и периметр.
Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника
Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).
Использование полупериметра
Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:
Если дан «правильный»
Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке . Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым , скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:
Если боковины одинаковой длины
Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:
Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.
Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности
Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:
Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:
Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:
При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:
В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:
Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.
Радиус внутренней окружности и площадь
Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника :
Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:
Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.
Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.
Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс
Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность
Вывод
Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.
Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.
В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.
Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…
Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.
Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.
Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.
Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника
Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.
Как найти радиус вписанной окружности
Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.
Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.
Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.
Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник
Формула 1:
Радиус окружности, которая вписана в ромб
Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.
Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.
Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.
Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.
Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.
Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.
Радиус окружности, которая вписана в треугольник
В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):
П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.
Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).
А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.
Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)
Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.
Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.
А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в
Формула 5: R =А * √3/6.
Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник
Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.
Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.
В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.
С = √(А²+Б²).
Радиус окружности, которая вписана в квадрат
Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.
Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.
Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.
МКОУ «Волчихинская СШ №2»
Учитель Бакута Е.П.
9 класс
Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников"
Цели урока:
Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран
Ход урок:
1. Организационный момент
Чтобы спорилось нужное дело,
А девизом нашего урока буду такие слова:
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Какая фигура называется многоугольником?
Какой многоугольник называется правильным?
Какое другое название правильного треугольника?
Какое другое название правильного четырехугольника?
Формула суммы углов выпуклого многоугольника.
Формула угла правильного многоугольника.
4. Изучение нового материала. (слайды)
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.
Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника
Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника.
Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
5. Закрепление нового материала.
Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.
6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться
Три – оглянуться Четыре – присест
Пять – руки вверх Шесть – вперед
Семь – опустили Восемь – сели
Девять – встали Десять – снова сели
7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)
Решить № 1093.
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).
п.105-108 повторить;
выучить формулы;
№ 1090, 1091, 1087(3)
Есть у математики молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, геометрия, даёшь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
Примечание Презентация содержит разделы:
Повторение теоретического материала
Проверка домашнего задания
Вывод основных формул, т.е. новый материал
Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно
Просмотр содержимого презентации
«9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»
- Чтобы спорилось нужное дело,
- Чтобы в жизни не знать неудач,
- В математики мир отправимся смело,
- В мир примеров и разных задач.
ДЕВИЗ УРОКА
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
И открытия нас ждут обязательно!
Повторение.
- Какая геометрическая фигура
изображена на рисунке?
D
Е
2.Какой многоугольник называется
правильным?
О
3.Какая окружность называется
вписанной в многоугольник?
F
С
4.Какая окружность называется
описанной около многоугольника?
5.Назовите радиус вписанной окружности.
А
В
Н
6.Назовите радиус описанной окружности.
7.Как найти центр вписанной в правильный
многоугольник окружности?
8.Как найти центр окружности описанной около
правильного многоугольника?
Проверка выполнения
домашнего задания ..
№ 1084.
β – угол, соответствующий
дуге, которую стягивает
сторона многоугольника .
О
А п
А 2
β
Ответы:
а) 6;
б) 12;
А
А 1
в) 4;
г) 8;
г) 10
д) 20;
е) 7.
е) 5.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Сумма углов правильного n -угольника
Угол правильного n - угольника
Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.
Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.
Пусть r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,
п – количество сторон и углов многоугольника.
Рассмотрим правильный п-угольник.
Пусть а – сторона п-угольника,
α – угол.
Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.
ОС – высота ∆АОВ.
∟ С = 90 º - (по построению),
Рассмотрим ∆АОС:
∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),
АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),
∟ АОВ = 360 º: п,
пусть ∟АОС = β .
тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ
0,5 ∙ (360 º: п)
2 sin (180 º: п)
2 tg (180 º: п)
Площадь правильного многоугольника
Сторона правильного многоугольника
Радиус вписанной окружности
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
п = 3
п = 4
п = 6
2 tg (180 º: п)
2 sin (180 º: п)
тогда 180 º: п
У правильного треугольника п = 3,
откуда 2 sin 60 º =
тогда 180 º: п
У правильного четырехугольника п = 4,
откуда 2 sin 45 º =
У правильного шестиугольника п = 6,
тогда 180 º: п
откуда 2 sin 30 º =
Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:
2 R ∙ sin (180 º: п)
2 r ∙ tg (180 º: п)
треугольник
шестиугольник
Пп. 105 – 108;
№ 1087;
№ 1088 – подготовить таблицу.
n = 4
R
r
a 4
P
2
6
4
S
28
16
3
3√2
24
32
2√2
4
16
16
16√2
32
4√2
2√2
7
3,5√2
3,5
49
4
2√2
16
2
№ 1087(5)
Дано: S=16 , n =4
Найти: a, r, R, P
Мы знаем формулы:
№ 1088( 5 )
Дано: P=6 , n = 3
Найти: R, a, r, S
Мы знаем формулы:
№ 108 9
Дано:
Найти:
Подведем итог
Мы знаем формулы:
- п.105-108 повторить;
- выучить формулы;
- № 1090, 1091, 1087(3)
